Polinomios en una variable IV

Ya se ha visto que la suma, la diferencia y el producto (tanto por escalares como por otro polinomio) generan nuevos polinomios. Ahora cabe preguntarse cuál es el orden del polinomio resultante, así como su coeficiente líder o su término independiente.

Supongamos que tenemos dos polinomios

$p(x) = \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} = a_{n}x^{n} + ... + a_{1}x + a_{0}$

$q(x) = \sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j} = b_{m}x^{m} + ... + b_{1}x + b_{0}$

y que los operamos sumándolos (o restándolos) obteniendo el nuevo polinomio $(p \pm q)(x)$, entonces

$\boxed{\mathcal{O}[(p \pm q)(x)] = orden[(p \pm q)(x)] \leq máx\{ \mathcal{O}[p(x)], \mathcal{O}[q(x)] \} = máx\{n, m\}}$

$\boxed{ c_{k} = \text{Coef. Líder}[(p \pm q)(x)] = a_{k} \pm b_{k} \text{, donde } k  = \mathcal{O}[(p \pm q)(x)]}$

$\boxed{\text{Térm. Indep.}[(p \pm q)(x)] = a_0 \pm b_0}$

Pongamos ejemplos concretos para comprender porqué son así las fórmulas dadas. 

$\begin{cases}p(x) = x^3 + x^2 - x + 3 \\ q(x) = x^3 - x^2 + x - 3 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} (p+q)(x) = 2x^3 \\ (p-q)(x) = 2x^2 - 2x + 6 \end{cases}$

Como se puede apreciar, en el ejemplo se mantiene el orden para la suma, $\mathcal{O}[(p+q)(x)] = 3$, pero no en la diferencia, $\mathcal{O}[(p-q)(x)] = 2$, a pesar de que ambos polinomios tienen el mismo orden. El coeficiente líder se tiene que asegurar que sea no nulo (es una de las condiciones que se dio al empezar con los polinomios), para lo cual se tiene que conocer el orden o buscar la primera suma no nula de coeficientes de los polinomios comenzando desde el orden más alto posible. El término independiente, por el contrario, siempre se calcula de la misma forma sin miedo de que pueda haber un suceso "raro".

Veamos ahora qué ocurre con el producto por escalares:

$\boxed{\mathcal{O}[\lambda\cdot p(x)] = \mathcal{O}[p(x)] \text{, } \forall\lambda\neq 0}$

$\boxed{c_{n} = \text{Coef. Líder}[\lambda\cdot p(x)] = \lambda\cdot a_{n}}$

$\boxed{c_{0} = \text{Térm. Indep.}[\lambda\cdot p(x)] = \lambda\cdot a_{0}}$

Es intuitivo que el producto por escalares no da complicaciones salvo que $\lambda = 0$, en cuyo caso simplemente todo se volverá nulo (el orden, el coef. líder y el término independiente). ¿Y con el producto entre polinomios?

$\boxed{\mathcal{O}[(p\cdot q)(x)] = \mathcal{O}[p(x)] + \mathcal{O}[q(x)]}$

$\boxed{\text{Coef. Líder}[(p\cdot q)(x)] = c_{k} = a_{n}\cdot b_{m} = \text{C.L.}[p(x)]\cdot\text{C.L.}[q(x)]}$

$\boxed{\text{Térm. Indep.}[(p\cdot q)(x)] = c_{0} = a_{0}\cdot b_{0} = \text{T.I.}[p(x)] \cdot \text{T.I.}[q(x)]}$

Veámoslo con el ejemplo anterior también para procurar que quede más claro:

$$\begin{cases}p(x) = x^3 + x^2 - x + 3 \\ q(x) = x^3 - x^2 + x - 3 \end{cases} \Longrightarrow (p\cdot q)(x) = x^6 - x^4 + 2x^3 - 7x^2 + 6x - 9 $$

\begin{cases} \text{Orden: } 6 = 3 + 3 \\ \text{C.L: } 1 = 1\cdot 1 \\ \text{T.I: } -9 = 3\cdot(-3) \end{cases}

El orden en el caso del producto es imposible que se vea reducido, sino que sólo puede ser aumentado porque el producto de los coeficientes líderes es imposible que se anule. Además, no puede obtenerse un orden mayor con el resto de coeficientes, el nuevo coeficiente líder vendrá dado por el producto de los respectivos coef. líderes. El término independiente vuelve a ser sencillo de obtener, ya que la única forma de obtener el término independiente es multiplicando los términos independientes (cualquier otra combinación resultará con una potencia de $x$).

Esto nos permite deducir el comportamiento del polinomio resultante de operar con polinomios.