Polinomios en una variable I

Todo el mundo ha visto en algún momento un polinomio y los menos agradados por la materia siempre hacen la misma pregunta: "¿Y esto para qué me sirve?" Pues la respuesta en los temas de matemáticas siempre es sencilla, dependiendo de lo que hagas, para mucho o no para tanto. Pero en cualquier caso, cuando los estudias tienes la ventaja de que (dentro de lo que hay) son lo más fácil y la referencia más útil para hacer memoria.

¿Qué es un polinomio?

Es habitual definir un polinomio tras haber hablado sobre los monomios y llegar a la conclusión de que es una función del siguiente tipo

$\begin{align} p(x) = \sum_{i=0}^{n}a_i \cdot x^{i} = a_n \cdot x^{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + ... + a_1 \cdot x + a_0 \end{align} $

donde a los términos $a_{i}$ se les denomina coeficientes i-ésimos, al término $a_n$ se le denomina coeficiente líder y se le impone de la condición de que sea no nulo (es decir $a_n \neq 0$), a $a_0$ se le denomina término independiente, a $n$ se le denomina grado del polinomio (verificando que $n\in\mathbb{N}$) y $x$ es la variable del polinomio.

Así, por ejemplo, $p(x) = 3 \cdot x^2 - 1$ es un polinomio que sólo tiene coeficiente líder ($a_2 = 3$) y término independiente ($a_0 = -1$) y si preguntaran por el coeficiente $a_1$ diríamos que es nulo o cero. Ésta es la forma de nuestro polinomio:

Evaluar un polinomio.

Evaluar un polinomio consiste, simplemente, en tomar valores de la variable $x$ y sustituir en la expresión del polinomio para hallar su valor numérico. Por ejemplo, evaluemos el polinomio antes definido $p(x)$ en:

$ x = -1 \Longrightarrow p(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 1 = 2$

$ x = - \frac{1}{2} \Longrightarrow p(- \frac{1}{2}) = 3 \cdot (- \frac{1}{2})^2 = - \frac{1}{4} $

$ x = 0 \Longrightarrow p(0) = 3 \cdot 0^2 - 1 = -1$

$ x = \frac{1}{2} \Longrightarrow p(\frac{1}{2}) = 3 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

$ x = 1 \Longrightarrow p(1) = 3 \cdot (1)^2 - 1 = 2$

Y vemos que, efectivamente, el valor numérico coincide en la gráfica.

¿Por qué $a_0$, $a_n$ y $n$ tienen nombres propios?

Porque presentan características con las cuales se puede estudiar el polinomio; por ejemplo: ¿Pasará la gráfica del polinomio por el origen del plano euclídeo? ¿Si nos dan la derivada de un polinomio, qué constante de intregración tomamos? ¿Cómo se comporta el polinomio para valores muy altos de la variable?

El término independiente responde a las dos primeras preguntas ya que ambas se basan en la evaluación del polinomio en $x = 0$ y siempre se verifica que $q(0) = a_0$, es decir, el término independiente es el valor numérico en el origen del plano.

El coeficiente líder y el orden del polinomio responden a la tercera pregunta. En nuestro caso, el orden es par ($n = 2$) y el coeficiente líder, positivo ($a_2 = 3$); esto implica, que para valores muy grandes de x (tanto positivos como negativos) el polinomio adquiera un comportamiento en particular.

Comportamiento de los polinomios.

Si un polinomio $q(x) = \sum_{i=0}^{m} a_{i} \cdot x^{i}$ tiene orden par y coeficiente líder positivo, entonces siempre se cumple que, para valores muy grandes (tanto positivos como negativos) de $x$, el polinomio toma valores cada vez mayores. Esto lo expresaremos como

$ lim_{|x| \rightarrow \infty} q(x) = +\infty $

En cambio, si el polinomio tiene orden par pero el coeficiente líder es negativo, entonces se tendrá que para valores muy grandes (tanto positivos como negativos) de $x$, el polinomio tomará valores cada vez menores. Esto lo expresaremos como 

$lim_{|x| \rightarrow \infty} q(x) = -\infty$

Supongamos ahora que el orden del polinomio es impar y el coeficiente líder es positivo, entonces para valores muy grandes pero negativos de $x$ el polinomio toma valores cada vez menores y para valores muy grandes pero positivos de $x$ el polinomio toma valores cada vez mayores. Esto lo expresaremos como

$\lim_{x \rightarrow -\infty} q(x) = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow \infty} q(x) = \infty$

Pero si el orden del polinomio es impar y el coeficiente líder es negativo, entonces para valores muy grandes pero negativos de $x$ el polinomio toma valores cada vez mayores y para valores muy grandes pero positivos de $x$ el polinomio toma valores cada vez menores. Esto lo expresaremos como

$\lim_{x \rightarrow -\infty} q(x) = \infty$

$\lim_{x \rightarrow \infty} q(x) = -\infty$

Y hasta aquí la primera parte de polinomios. Algún día habrá una segunda (y una tercera... y una cuarta...). Gracias por leer y comentad lo que consideréis.