Ya se ha visto en el post anterior qué operaciones admiten los polinomios y cómo se procede con cada una de ellas; la última fue el producto de polinomios. No obstante, continuando la analogía con $\mathbb{R}$, se puede dar un paso más y considerar que si hay producto de polinomios, hay potencias de polinomios.
Con esto hay que tener mucho cuidado ya que, como producto, la operación $(p\cdot p)(x)$ se podría denotar como $p^{2}(x)$ y denominarlo "el cuadrado del polinomio $p(x)$". Por poder, se puede; pero quien lo haga tiene que tener muy claro qué es lo que está haciendo y no caer en la confusión del hábito ya que los polinomios NO son números reales.
Por ejemplo, es habitual encontrarse cosas como
$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = a_{n}^{2}x + a_{n-1}^{2}(x) + ... + a_{1}^{2}x + a_{0}^{2}$
$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = a_{n}x^2 + a_{n-1}x^2 + ... + a_{1}x^2 + a_{0}$
Por ejemplo, es habitual encontrarse cosas como
$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = a_{n}^{2}x + a_{n-1}^{2}(x) + ... + a_{1}^{2}x + a_{0}^{2}$
$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = a_{n}x^2 + a_{n-1}x^2 + ... + a_{1}x^2 + a_{0}$
$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = (a_{n}x)^2 + (a_{n-1}x)^2 + ... + (a_{1}x)^2 + a_{0}^2$
cuando la gente habla del cuadrado del polinomio con mucha soltura, mientras que ninguna de esas expresiones es correcta para calcular el producto $(p\cdot p)(x)$.
cuando la gente habla del cuadrado del polinomio con mucha soltura, mientras que ninguna de esas expresiones es correcta para calcular el producto $(p\cdot p)(x)$.
Además, allá donde hay potencias y números reales, hay radicales puesto que no son más que potencias de números fraccionarios. Y hablar de radicales de un polinomio es algo muy difuso... ¿Tendría sentido hablar del polinomio $\sqrt{p(x)}$?
Pues para comenzar, habría que asegurar que de verdad es un polinomio, lo cual no es nada sencillo. Basta un ejemplo muy simple para empezar a tener problemas:
Sea $p(x) = x \Longrightarrow \sqrt{p(x)} = \sqrt{x} = x^{1/2}$
Como vemos, el ejemplo más sencillo nos ha dado el problema más grave: no hay una potencia natural de la variable, sino un radical. Basta esto para poder decir que, en general, los radicales aplicados a polinomios no generan polinomios y descartarla como operación factible. E incluso si lo consideráramos factible nos encontraríamos con otro dilema: ¿Estaría el "polinomio" definido para todos los valores de la variable $x$? Porque en el ejemplo dado nos encontraríamos con problemas para evaluar "el polinomio raíz" en $x = -1$
Alguno todavía podría alegar algo del estilo "pero es que en $\mathbb{R}$ los números negativos tampoco tienen raíces y aún así se definen los radicales en $\mathbb{R}$". Bueno, lo primero es que los radicales no están todos definidos en $\mathbb{R}$ sino que algunos sólo lo están en $\mathbb{R}^{+}$ (porque para definir radicales de orden impar de números negativos hay que recurrir a los números imaginarios); pero una mente matemática es una mente cabezona y por más que eso sea verdad, querrá algo más contundente para cambiar de idea.
He aquí la contundencia: los polinomios, cuando se estudian más en profundidad presentan unas características generales a todos ellos; como por ejemplo:
Obviar dos rasgos tan importantes como esos, es quitarle el mérito de tener nombre propio, lo cual sería contraproducente.
Como conclusión, es posible que exista algo que al elevarlo al cuadrado dé un polinomio, pero raramente ese algo será también un polinomio y es por esto que no debe olvidar cómo tratar a los polinomios y no decir cosas como "el polinomio raíz" a la ligera.
Alguno todavía podría alegar algo del estilo "pero es que en $\mathbb{R}$ los números negativos tampoco tienen raíces y aún así se definen los radicales en $\mathbb{R}$". Bueno, lo primero es que los radicales no están todos definidos en $\mathbb{R}$ sino que algunos sólo lo están en $\mathbb{R}^{+}$ (porque para definir radicales de orden impar de números negativos hay que recurrir a los números imaginarios); pero una mente matemática es una mente cabezona y por más que eso sea verdad, querrá algo más contundente para cambiar de idea.
He aquí la contundencia: los polinomios, cuando se estudian más en profundidad presentan unas características generales a todos ellos; como por ejemplo:
- Como funciones, su dominio es todo $\mathbb{R}$, son continuas e infinitamente derivables.
- Como estructura, el conjunto de todos los polinomios que tienen por variable a $x$ es un anillo.
Obviar dos rasgos tan importantes como esos, es quitarle el mérito de tener nombre propio, lo cual sería contraproducente.
Como conclusión, es posible que exista algo que al elevarlo al cuadrado dé un polinomio, pero raramente ese algo será también un polinomio y es por esto que no debe olvidar cómo tratar a los polinomios y no decir cosas como "el polinomio raíz" a la ligera.
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