Ya hemos visto qué y cómo son los polinomios, incluso cómo se comportan a rasgos generales. Lo más lógico sería conocer cómo se comportan al operar entre ellos.
Suma y resta.
Los polinomios se pueden sumar y restar sin problemas, para ello simplemente hay que agrupar los coeficientes de una misma potencia. Supongamos que hay que sumar dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$
$p(x) = x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3$
$q(x) = -x^5 + 3x^3 + x^2 -3$
pues simplemente hay que hacer lo dicho, agrupar los coeficientes de una misma potencia:
$p(x) + q(x) = (0+(-1))x^5 + (1+0)x^4 + (5+3)x^3 + ((-2)+1)x^2 + (0+0)x + (3+(-3)) = $
$ = -x^5 + x^4 + 8x^3 - x^2 $
Si un polinomio no tiene uno o más coeficientes como en el ejemplo puesto, simplemente se consideran que son cero y se procede sin miedo. El resultado como se ve, es un nuevo polinomio al que se le puede denotar con una nueva letra como $s(x)$ o simplemente dejarlo indicado como $(p+q)(x)$.
¿Y si hay que restarlos? Pues si hay que restarlos se hace exactamente igual ya que, como alguna que otra vez habréis oído: restar no es más que sumar el opuesto.
$(p-q)(x) = (0-(-1))x^5 + (1-0)x^4 + (5-3)x^3 + ((-2)-1)x^2 + (0-0)x + (3-(-3)) = $
$ = x^5 + x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 6 $
En definitiva, la suma y la resta de polinomios se reduce a
$$\boxed{p(x) \pm q(x) = \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \pm \sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j} = \sum_{t=0}^{máx\{n,m\}}(a_t \pm b_t)x^t = (p \pm q)(x)}$$
Producto por escalares.
Cuando uno escuche el término escalar, automáticamente debe pensar en un número (aunque a los más familiarizados el término escalar les viene a la mente espacios vectoriales). Entonces, ¿qué es multiplicar un polinomio por un escalar y cómo se hace?
La idea es idéntica a producto producto en los reales. Si $3(a+b)$ implica sumar 3 veces $a+b$ y se reduce a hacer el cálculo de $3a + 3b$, entonces:
$3 \cdot p(x) = p(x) + p(x) + p(x) = 3(x^4) + 3(5x^3) + 3(-2x^2) + 3 \cdot 3 = 3x^4 + 15x^3 - 6x^2 + 9 $
$3 \cdot q(x) = q(x) + q(x) + q(x) = 3(-x^5) + 3(3x^3) + 3(x^2) + 3 \cdot (-3) = -3x^5 + 9x^3 + 3x^2 + 9 $
El producto por escalares de polinomios se reduce a
$$\boxed{ \lambda \cdot p(x) = \lambda\sum_{i=0}^{n}a_{n}x^n = \sum_{i=0}^{n}(\lambda\cdot a_{n})x^n} $$
Opuesto de un polinomio.
Puestos a pensar en los números reales y sabiendo cómo funciona el producto por escalares, podemos pensar que si en $\mathbb{R}$ el opuesto de $a$ es $-a = (-1)a$ y la suma de opuestos da 0, entonces $(-1) \cdot p(x) = (-p)(x)$ tiene derecho de llamarse el opuesto si verifica la misma propiedad.
$(-p)(x) = -(x^4) -(5x^3) -(-2x^2) -(3) = -x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 3$
$p(x) + (-p)(x) = (1-1)x^4 + (5-5)x^3 + (-2+2)x^2 + (3-3) = 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0 = 0$
Por tanto, podemos estar tranquilos de llamarlo el opuesto.
El opuesto de un polinomio se reduce a
$$\boxed{(-p)(x) = -(\sum_{i=0}^{n}a_{n}x^n) = \sum_{i=0}^{n} (-a_{n})x^{n}}$$
Producto de polinomios.
En cambio, desde la estructura de $\mathbb{R}$ no es quizá tan intuitivo, pero también hay similitud entre el producto de reales y el producto de polinomios. En $\mathbb{R}$ se tiene la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, de manera que $(a + b)(A + B) = aA + aB + bA + bB$ y el producto de polinomios es análogo:
$(p\cdot q)(x) = (x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3)(-x^5 + 3x^3 + x^2 - 3) = $
$ = (x^4)(-x^5) + (x^4)(3x^3) + (x^4)(x^2) + (x^4)(-3) + $
$ + (5x^3)(-x^5) + (5x^3)(3x^3) + (5x^3)(x^2) + (5x^3)(-3) + $
$ + (-2x^2)(-x^5) + (-2x^2)(3x^3) + (-2x^2)(x^2) + (-2x^2)(-3) + $
$ + 3(-x^5) + 3(3x^3) + 3(x^2) + 3(-3) $
Y ahora, después de tanto desarrollar paréntesis, se ve que se reduce a multiplicar monomios. Por tanto, recordemos cómo se multiplican los monomios:
$$\boxed{(ax^n)(bx^m) = abx^{n+m}}$$
Desarrollando los productos de los monomios queda:
$(p\cdot q)(x) = ... = -x^9 + 3x^7 + x^6 - 3x^4 + $
$ -5x^8 + 15x^6 + 5x^5 - 15x^3 + $
$ +2x^7 - 6x^5 - 2x^4 + 6x^2 + $
$ -3x^5 + 9x^3 + 3x^2 - 9 $
Después de desarrollar, sólo queda agrupar los coeficientes asociados a la misma potencia y sumar como si de suma de polinomios se tratara.
$(p\cdot q)(x) = -x^9 - 5x^8 + (3+2)x^7 + (1+15)x^6 + (5-6-3)x^5 + (-3-2)x^4 + (-15+9)x^3 + (6+3)x^2 - 9 =$
$ = -x^9 - 5x^8 + 5x^7 + 16x^6 - 4x^5 - 5x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 9 $
Expresado como una fórmula matemática, el producto de polinomios es
$$\boxed{(p\cdot q)(x) = (\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i})\cdot(\sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}) = \sum_{i=0}^{n}(\sum_{j=0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i+j})}$$
Y hasta aquí por ahora. En la siguiente parte de polinomios se hablará sobre las potencias de un polinomio, se volverá a tratar el orden de un polinomio y quizá se empiece a hablar ya de las raíces de un polinomio, aunque se procurará que sea un post más escueto.
Un saludo y ¡esperamos que os ayude!
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