Topología básica II

Ya hemos visto qué es una topología y dos topologías básicas sobre cualquier conjunto; pero antes de pararnos a ver más ejemplos de espacios topológicos vamos a ver dos formas alternativas (aunque hay más) de caracterizar a las topologías: los cerrados y las bases.

Cerrados.

El concepto de cerrado es tan simple como el de abierto. Si los abiertos son los elementos de $\tau$, los cerrados son los complementarios de los abiertos. Es decir

Si $\mathcal{O} \in \tau$, entonces $\mathbb{X} \backslash \mathcal{O} \in \mathcal{F}$

, donde $\mathcal{F}$ representa al conjunto de todos los cerrados del espacio topológico. Sin embargo,  esta forma de definir los cerrados junto con las propiedades del álgebra de conjuntos, permite caracterizar al espacio topológico por sus cerrados.

Si $\mathcal{F}$ verifica que

1-. $\emptyset$ y $\mathbb{X} \in \mathcal{F}$

2-. $\bigcap_{I} F_{i} \in \mathcal{F}$ para cualquier intersección de elementos de $\mathcal{F}$.

3-. $F_1 \bigcup F_2 \in \mathcal{F}$ para cuales quiera elementos de $\mathcal{F}$.

, entonces ($\mathbb{X}$, $\mathcal{F}$) conforma el mismo espacio topológico que ($\mathbb{X}$, $\tau$).

Hay resultados inmediatos como que en $\tau_{T}$ y en $\tau_{D}$ todos los elementos son simultáneamente abiertos y cerrados o como que $\emptyset$ y $\mathbb{X}$ son siempre abiertos y cerrados.

Bases de abiertos.

Un subconjunto $\beta \subset \tau$ se dice que es una base de $\tau$ si todo abierto se puede expresar como unión de elementos de $\beta$; es decir,

$\forall \mathcal{O} \in \tau \text{, } \exists I \text{ tal que } \mathcal{O} = \bigcup_{I} \mathcal{B}_{i}$

La idea de base puede resultar tentadora para quienes hayan trabajado con los espacios vectoriales; sin embargo, hay que tener cuidado. Una base topológica no implica unicidad a la hora de expresar los abiertos como unión de elementos de la base; de hecho $\mathbb{X}$ en la topología discreta se puede expresar de muchas formas, entre ellas, como unión de elementos disjuntos y como unión de todos los abiertos.

Un resultado muy simple de las bases es que la propia topología es base de ella misma o que dada una base se puede obtener otra añadiéndole nuevos abiertos; es decir, si $\beta$ es base de $\tau$ y $\mathcal{O} \in \tau$, entonces $\beta^{'} = \beta \cup \mathcal{O}$ es otra base.

Más adelante nos centraremos en dar ejemplos de lo que se lleva visto.

Topología básica I

Por dejar un poco de lado los polinomios, pasamos a algo más "profundo": la topología. Para empezar, la primera pregunta que suele ocurrírsele a la gente la primera vez es "¿eso no es el estudio del terreno?" Y una vez que se les dice que no la siguiente pregunta suele ser "¿y eso entonces para qué sirve?"

Se podría decir que la topología estudia conjuntos de forma similar a lo que puede hacer la geometría con los espacios afines, vectoriales o proyectivos. Determina cuándo hay conjuntos topológicamente idénticos estudiando lo que se denominan invariantes topológicos, unas propiedades que se preservan se hagan los cambios que se hagan en los conjuntos de estudio. No obstante, para llegar a ese punto primero hay que determinar conceptos previos.

Lo primero y más básico es dotar de nombre a un conjunto con propiedades particulares. Supongamos que tenemos un conjunto $\mathbb{X}$ y una familia de subconjuntos del mismo conjunto al que notaremos por $\tau$ que verifica las siguientes propiedades:

1-. El vacío y el total son parte de la familia $\tau$.

     $\emptyset \in \tau$ y $\mathbb{X} \in \tau$

2-. Dada una familia arbitraria de elementos de $\tau$, la unión resultante de todos ellos es también otro elemento de $\tau$.

   Dados $\mathcal{O}_{i} \in \tau$ con $i \in I$, entonces $\bigcup\limits_{i \in I} \mathcal{O}_{i} \in \tau$

3-. La intersección finita de elementos de $\tau$ es otro elemento de $\tau$.

    Dados $\mathcal{O}_{1}$ y $\mathcal{O}_{2} \in \tau$ arbitratios, entonces $mathcal{O}_{1} \bigcap \mathcal{O}_{2} \in \tau$

A la familia $\tau$ de elementos de $\mathbb{X}$ se le denomina topología, a todos los elementos $\mathcal{O} \in \tau$ se les denomina abiertos y al par ($\mathbb{X}$, $\tau$) se le denomina espacio topológico.

Es obvio por la definición dada que las topologías se definen sobre conjuntos concretos y que no tiene porqué haber una única topología en un conjunto $\mathbb{X}$; de hecho, la mayoría de los conjuntos admiten al menos dos topologías básicas: la trivial y la discreta.

Topología trivial.

Es una topología siempre construible sobre cualquier conjunto $\mathbb{X}$.

$\tau_{T} = \{ \emptyset \text{, } \mathbb{X}\}$

Que se cumple la primera propiedad es inmediato.

Que se cumple la segunda también, porque la unión de elementos de $\tau_{T}$ sólo cabe que sea $\emptyset$ o bien $\mathbb{X}$; en cualquier caso, ambos pertenecen a $\tau_{T}$.

Exactamente por el mismo razonamiento para la intersección tenemos que se cumple la tercera propiedad.

Tenemos pues, una topología, que se puede calcular sobre cualquier conjunto $\mathbb{X}$

Topología discreta.

Es otra topología siempre construible sobre cualquier conjunto $\mathbb{X}$

$\tau_{D} = \mathcal{P}(\mathbb{X})$ = $\{ \mathcal{O} \subset \mathbb{X} \}$

Que se cumple la primera propiedad es inmediato.

Que se cumple la segunda también puesto que los elementos de $\tau_{D}$ son subconjuntos de $\mathbb{X}$ y la unión de subconjuntos seguirá siendo un subconjunto suyo.

El mismo razonamiento sirve para la intersección; si los conjuntos son disjuntos, la intersección es vacía y si no son disjuntos, será otro subconjunto. En cualquier caso se tiene que la intersección es otro elemento de $\tau_{D}$.

Aparte de éstas existen muchas más, algunas con nombre propio, que ya mencionaremos en la siguiente parte.

Polinomios en una variable IV

Ya se ha visto que la suma, la diferencia y el producto (tanto por escalares como por otro polinomio) generan nuevos polinomios. Ahora cabe preguntarse cuál es el orden del polinomio resultante, así como su coeficiente líder o su término independiente.

Supongamos que tenemos dos polinomios

$p(x) = \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} = a_{n}x^{n} + ... + a_{1}x + a_{0}$

$q(x) = \sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j} = b_{m}x^{m} + ... + b_{1}x + b_{0}$

y que los operamos sumándolos (o restándolos) obteniendo el nuevo polinomio $(p \pm q)(x)$, entonces

$\boxed{\mathcal{O}[(p \pm q)(x)] = orden[(p \pm q)(x)] \leq máx\{ \mathcal{O}[p(x)], \mathcal{O}[q(x)] \} = máx\{n, m\}}$

$\boxed{ c_{k} = \text{Coef. Líder}[(p \pm q)(x)] = a_{k} \pm b_{k} \text{, donde } k  = \mathcal{O}[(p \pm q)(x)]}$

$\boxed{\text{Térm. Indep.}[(p \pm q)(x)] = a_0 \pm b_0}$

Pongamos ejemplos concretos para comprender porqué son así las fórmulas dadas. 

$\begin{cases}p(x) = x^3 + x^2 - x + 3 \\ q(x) = x^3 - x^2 + x - 3 \end{cases} \Longrightarrow \begin{cases} (p+q)(x) = 2x^3 \\ (p-q)(x) = 2x^2 - 2x + 6 \end{cases}$

Como se puede apreciar, en el ejemplo se mantiene el orden para la suma, $\mathcal{O}[(p+q)(x)] = 3$, pero no en la diferencia, $\mathcal{O}[(p-q)(x)] = 2$, a pesar de que ambos polinomios tienen el mismo orden. El coeficiente líder se tiene que asegurar que sea no nulo (es una de las condiciones que se dio al empezar con los polinomios), para lo cual se tiene que conocer el orden o buscar la primera suma no nula de coeficientes de los polinomios comenzando desde el orden más alto posible. El término independiente, por el contrario, siempre se calcula de la misma forma sin miedo de que pueda haber un suceso "raro".

Veamos ahora qué ocurre con el producto por escalares:

$\boxed{\mathcal{O}[\lambda\cdot p(x)] = \mathcal{O}[p(x)] \text{, } \forall\lambda\neq 0}$

$\boxed{c_{n} = \text{Coef. Líder}[\lambda\cdot p(x)] = \lambda\cdot a_{n}}$

$\boxed{c_{0} = \text{Térm. Indep.}[\lambda\cdot p(x)] = \lambda\cdot a_{0}}$

Es intuitivo que el producto por escalares no da complicaciones salvo que $\lambda = 0$, en cuyo caso simplemente todo se volverá nulo (el orden, el coef. líder y el término independiente). ¿Y con el producto entre polinomios?

$\boxed{\mathcal{O}[(p\cdot q)(x)] = \mathcal{O}[p(x)] + \mathcal{O}[q(x)]}$

$\boxed{\text{Coef. Líder}[(p\cdot q)(x)] = c_{k} = a_{n}\cdot b_{m} = \text{C.L.}[p(x)]\cdot\text{C.L.}[q(x)]}$

$\boxed{\text{Térm. Indep.}[(p\cdot q)(x)] = c_{0} = a_{0}\cdot b_{0} = \text{T.I.}[p(x)] \cdot \text{T.I.}[q(x)]}$

Veámoslo con el ejemplo anterior también para procurar que quede más claro:

$$\begin{cases}p(x) = x^3 + x^2 - x + 3 \\ q(x) = x^3 - x^2 + x - 3 \end{cases} \Longrightarrow (p\cdot q)(x) = x^6 - x^4 + 2x^3 - 7x^2 + 6x - 9 $$

\begin{cases} \text{Orden: } 6 = 3 + 3 \\ \text{C.L: } 1 = 1\cdot 1 \\ \text{T.I: } -9 = 3\cdot(-3) \end{cases}

El orden en el caso del producto es imposible que se vea reducido, sino que sólo puede ser aumentado porque el producto de los coeficientes líderes es imposible que se anule. Además, no puede obtenerse un orden mayor con el resto de coeficientes, el nuevo coeficiente líder vendrá dado por el producto de los respectivos coef. líderes. El término independiente vuelve a ser sencillo de obtener, ya que la única forma de obtener el término independiente es multiplicando los términos independientes (cualquier otra combinación resultará con una potencia de $x$).

Esto nos permite deducir el comportamiento del polinomio resultante de operar con polinomios.

Polinomios en una variable III

Ya se ha visto en el post anterior qué operaciones admiten los polinomios y cómo se procede con cada una de ellas; la última fue el producto de polinomios. No obstante, continuando la analogía con $\mathbb{R}$, se puede dar un paso más y considerar que si hay producto de polinomios, hay potencias de polinomios.

Con esto hay que tener mucho cuidado ya que, como producto, la operación $(p\cdot p)(x)$ se podría denotar como $p^{2}(x)$ y denominarlo "el cuadrado del polinomio $p(x)$". Por poder, se puede; pero quien lo haga tiene que tener muy claro qué es lo que está haciendo y no caer en la confusión del hábito ya que los polinomios NO son números reales.


Por ejemplo, es habitual encontrarse cosas como

$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = a_{n}^{2}x + a_{n-1}^{2}(x) + ... + a_{1}^{2}x + a_{0}^{2}$
$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = a_{n}x^2 + a_{n-1}x^2 + ... + a_{1}x^2 + a_{0}$

$(p\cdot p)(x) = p^{2}(x) = (a_{n}x)^2 + (a_{n-1}x)^2 + ... + (a_{1}x)^2 + a_{0}^2$

cuando la gente habla del cuadrado del polinomio con mucha soltura, mientras que  ninguna de esas expresiones es correcta para calcular el producto $(p\cdot p)(x)$.

Además, allá donde hay potencias y números reales, hay radicales puesto que no son más que potencias de números fraccionarios. Y hablar de radicales de un polinomio es algo muy difuso... ¿Tendría sentido hablar del polinomio $\sqrt{p(x)}$?

Pues para comenzar, habría que asegurar que de verdad es un polinomio, lo cual no es nada sencillo. Basta un ejemplo muy simple para empezar a tener problemas:

Sea $p(x) = x \Longrightarrow \sqrt{p(x)} = \sqrt{x} = x^{1/2}$

Como vemos, el ejemplo más sencillo nos ha dado el problema más grave: no hay una potencia natural de la variable, sino un radical. Basta esto para poder decir que, en general, los radicales aplicados a polinomios no generan polinomios y descartarla como operación factible. E incluso si lo consideráramos factible nos encontraríamos con otro dilema: ¿Estaría el "polinomio" definido para todos los valores de la variable $x$? Porque en el ejemplo dado nos encontraríamos con problemas para evaluar "el polinomio raíz" en $x = -1$


Alguno todavía podría alegar algo del estilo "pero es que en $\mathbb{R}$ los números negativos tampoco tienen raíces y aún así se definen los radicales en $\mathbb{R}$". Bueno, lo primero es que los radicales no están todos definidos en $\mathbb{R}$ sino que algunos sólo lo están en $\mathbb{R}^{+}$ (porque para definir radicales de orden impar de números negativos hay que recurrir a los números imaginarios); pero una mente matemática es una mente cabezona y por más que eso sea verdad, querrá algo más contundente para cambiar de idea.


He aquí la contundencia: los polinomios, cuando se estudian más en profundidad presentan unas características generales a todos ellos; como por ejemplo:

      - Como funciones, su dominio es todo $\mathbb{R}$, son continuas e infinitamente derivables.

      - Como estructura, el conjunto de todos los polinomios que tienen por variable a $x$ es un anillo.

Obviar dos rasgos tan importantes como esos, es quitarle el mérito de tener nombre propio, lo cual sería contraproducente.


Como conclusión, es posible que exista algo que al elevarlo al cuadrado dé un polinomio, pero raramente ese algo será también un polinomio y es por esto que no debe olvidar cómo tratar a los polinomios y no decir cosas como "el polinomio raíz" a la ligera.

Polinomios en una variable II

Ya hemos visto qué y cómo son los polinomios, incluso cómo se comportan a rasgos generales. Lo más lógico sería conocer cómo se comportan al operar entre ellos.

Suma y resta.

Los polinomios se pueden sumar y restar sin problemas, para ello simplemente hay que agrupar los coeficientes de una misma potencia. Supongamos que hay que sumar dos polinomios $p(x)$ y $q(x)$

$p(x) = x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3$

$q(x) = -x^5 + 3x^3 + x^2 -3$

pues simplemente hay que hacer lo dicho, agrupar los coeficientes de una misma potencia:

$p(x) + q(x) = (0+(-1))x^5 + (1+0)x^4 + (5+3)x^3 + ((-2)+1)x^2 + (0+0)x + (3+(-3)) = $

                  $ = -x^5 + x^4 + 8x^3 - x^2 $

Si un polinomio no tiene uno o más coeficientes como en el ejemplo puesto, simplemente se consideran que son cero y se procede sin miedo. El resultado como se ve, es un nuevo polinomio al que se le puede denotar con una nueva letra como $s(x)$ o simplemente dejarlo indicado como $(p+q)(x)$.

¿Y si hay que restarlos? Pues si hay que restarlos se hace exactamente igual ya que, como alguna que otra vez habréis oído: restar no es más que sumar el opuesto.

$(p-q)(x) = (0-(-1))x^5 + (1-0)x^4 + (5-3)x^3 + ((-2)-1)x^2 + (0-0)x + (3-(-3)) = $

             $ = x^5 + x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 6 $

En definitiva, la suma y la resta de polinomios se reduce a

$$\boxed{p(x) \pm q(x) = \sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i} \pm \sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j} = \sum_{t=0}^{máx\{n,m\}}(a_t \pm b_t)x^t  = (p \pm q)(x)}$$

Producto por escalares.

Cuando uno escuche el término escalar, automáticamente debe pensar en un número (aunque a los más familiarizados el término escalar les viene a la mente espacios vectoriales). Entonces, ¿qué es multiplicar un polinomio por un escalar y cómo se hace?

La idea es idéntica a producto producto en los reales. Si $3(a+b)$ implica sumar 3 veces $a+b$ y se reduce a hacer el cálculo de $3a + 3b$, entonces:

$3 \cdot p(x) = p(x) + p(x) + p(x) = 3(x^4) + 3(5x^3) + 3(-2x^2) + 3 \cdot 3 = 3x^4 + 15x^3 - 6x^2 + 9 $

$3 \cdot q(x) = q(x) + q(x) + q(x) = 3(-x^5) + 3(3x^3) + 3(x^2) + 3 \cdot (-3) = -3x^5 + 9x^3 + 3x^2 + 9 $

El producto por escalares de polinomios se reduce a

$$\boxed{ \lambda \cdot p(x) = \lambda\sum_{i=0}^{n}a_{n}x^n = \sum_{i=0}^{n}(\lambda\cdot a_{n})x^n} $$

Opuesto de un polinomio.

Puestos a pensar en los números reales y sabiendo cómo funciona el producto por escalares, podemos pensar que si en $\mathbb{R}$ el opuesto de $a$ es $-a = (-1)a$ y la suma de opuestos da 0, entonces $(-1) \cdot p(x) = (-p)(x)$ tiene derecho de llamarse el opuesto si verifica la misma propiedad.

$(-p)(x) = -(x^4) -(5x^3) -(-2x^2) -(3) = -x^4 - 5x^3 + 2x^2 - 3$

$p(x) + (-p)(x) = (1-1)x^4 + (5-5)x^3 + (-2+2)x^2 + (3-3) = 0x^4 + 0x^3 + 0x^2 + 0 = 0$

Por tanto, podemos estar tranquilos de llamarlo el opuesto.

El opuesto de un polinomio se reduce a

$$\boxed{(-p)(x) = -(\sum_{i=0}^{n}a_{n}x^n) = \sum_{i=0}^{n} (-a_{n})x^{n}}$$

Producto de polinomios.

En cambio, desde la estructura de $\mathbb{R}$ no es quizá tan intuitivo, pero también hay similitud entre el producto de reales y el producto de polinomios. En $\mathbb{R}$ se tiene la propiedad distributiva del producto respecto de la suma, de manera que $(a + b)(A + B) = aA + aB + bA + bB$ y el producto de polinomios es análogo:

$(p\cdot q)(x) = (x^4 + 5x^3 - 2x^2 + 3)(-x^5 + 3x^3 + x^2 - 3) = $

                     $ = (x^4)(-x^5) + (x^4)(3x^3) + (x^4)(x^2) +  (x^4)(-3) + $

                     $ + (5x^3)(-x^5) +  (5x^3)(3x^3) + (5x^3)(x^2) + (5x^3)(-3) + $

                     $ + (-2x^2)(-x^5) + (-2x^2)(3x^3) + (-2x^2)(x^2) + (-2x^2)(-3) + $

                     $ + 3(-x^5) + 3(3x^3) + 3(x^2) + 3(-3) $

Y ahora, después de tanto desarrollar paréntesis, se ve que se reduce a multiplicar monomios. Por tanto, recordemos cómo se multiplican los monomios:

$$\boxed{(ax^n)(bx^m) = abx^{n+m}}$$

Desarrollando los productos de los monomios queda:

$(p\cdot q)(x) = ... = -x^9 + 3x^7 + x^6 - 3x^4 + $

                               $ -5x^8 + 15x^6 + 5x^5 - 15x^3 + $

                               $ +2x^7 - 6x^5 - 2x^4 + 6x^2 + $

                               $ -3x^5 + 9x^3 + 3x^2 - 9 $

Después de desarrollar, sólo queda agrupar los coeficientes asociados a la misma potencia y sumar como si de suma de polinomios se tratara.

$(p\cdot q)(x) = -x^9 - 5x^8 + (3+2)x^7 + (1+15)x^6 + (5-6-3)x^5 + (-3-2)x^4 + (-15+9)x^3 + (6+3)x^2 - 9 =$

                     $ = -x^9 - 5x^8 + 5x^7 + 16x^6 - 4x^5 - 5x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 9 $

Expresado como una fórmula matemática, el producto de polinomios es

$$\boxed{(p\cdot q)(x) = (\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i})\cdot(\sum_{j=0}^{m}b_{j}x^{j}) = \sum_{i=0}^{n}(\sum_{j=0}^{m}a_{i}b_{j}x^{i+j})}$$

Y hasta aquí por ahora. En la siguiente parte de polinomios se hablará sobre las potencias de un polinomio, se volverá a tratar el orden de un polinomio y quizá se empiece a hablar ya de las raíces de un polinomio, aunque se procurará que sea un post más escueto.

Un saludo y ¡esperamos que os ayude!

Polinomios en una variable I

Todo el mundo ha visto en algún momento un polinomio y los menos agradados por la materia siempre hacen la misma pregunta: "¿Y esto para qué me sirve?" Pues la respuesta en los temas de matemáticas siempre es sencilla, dependiendo de lo que hagas, para mucho o no para tanto. Pero en cualquier caso, cuando los estudias tienes la ventaja de que (dentro de lo que hay) son lo más fácil y la referencia más útil para hacer memoria.

¿Qué es un polinomio?

Es habitual definir un polinomio tras haber hablado sobre los monomios y llegar a la conclusión de que es una función del siguiente tipo

$\begin{align} p(x) = \sum_{i=0}^{n}a_i \cdot x^{i} = a_n \cdot x^{n} + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + ... + a_1 \cdot x + a_0 \end{align} $

donde a los términos $a_{i}$ se les denomina coeficientes i-ésimos, al término $a_n$ se le denomina coeficiente líder y se le impone de la condición de que sea no nulo (es decir $a_n \neq 0$), a $a_0$ se le denomina término independiente, a $n$ se le denomina grado del polinomio (verificando que $n\in\mathbb{N}$) y $x$ es la variable del polinomio.

Así, por ejemplo, $p(x) = 3 \cdot x^2 - 1$ es un polinomio que sólo tiene coeficiente líder ($a_2 = 3$) y término independiente ($a_0 = -1$) y si preguntaran por el coeficiente $a_1$ diríamos que es nulo o cero. Ésta es la forma de nuestro polinomio:

Evaluar un polinomio.

Evaluar un polinomio consiste, simplemente, en tomar valores de la variable $x$ y sustituir en la expresión del polinomio para hallar su valor numérico. Por ejemplo, evaluemos el polinomio antes definido $p(x)$ en:

$ x = -1 \Longrightarrow p(-1) = 3 \cdot (-1)^2 - 1 = 2$

$ x = - \frac{1}{2} \Longrightarrow p(- \frac{1}{2}) = 3 \cdot (- \frac{1}{2})^2 = - \frac{1}{4} $

$ x = 0 \Longrightarrow p(0) = 3 \cdot 0^2 - 1 = -1$

$ x = \frac{1}{2} \Longrightarrow p(\frac{1}{2}) = 3 \cdot (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

$ x = 1 \Longrightarrow p(1) = 3 \cdot (1)^2 - 1 = 2$

Y vemos que, efectivamente, el valor numérico coincide en la gráfica.

¿Por qué $a_0$, $a_n$ y $n$ tienen nombres propios?

Porque presentan características con las cuales se puede estudiar el polinomio; por ejemplo: ¿Pasará la gráfica del polinomio por el origen del plano euclídeo? ¿Si nos dan la derivada de un polinomio, qué constante de intregración tomamos? ¿Cómo se comporta el polinomio para valores muy altos de la variable?

El término independiente responde a las dos primeras preguntas ya que ambas se basan en la evaluación del polinomio en $x = 0$ y siempre se verifica que $q(0) = a_0$, es decir, el término independiente es el valor numérico en el origen del plano.

El coeficiente líder y el orden del polinomio responden a la tercera pregunta. En nuestro caso, el orden es par ($n = 2$) y el coeficiente líder, positivo ($a_2 = 3$); esto implica, que para valores muy grandes de x (tanto positivos como negativos) el polinomio adquiera un comportamiento en particular.

Comportamiento de los polinomios.

Si un polinomio $q(x) = \sum_{i=0}^{m} a_{i} \cdot x^{i}$ tiene orden par y coeficiente líder positivo, entonces siempre se cumple que, para valores muy grandes (tanto positivos como negativos) de $x$, el polinomio toma valores cada vez mayores. Esto lo expresaremos como

$ lim_{|x| \rightarrow \infty} q(x) = +\infty $

En cambio, si el polinomio tiene orden par pero el coeficiente líder es negativo, entonces se tendrá que para valores muy grandes (tanto positivos como negativos) de $x$, el polinomio tomará valores cada vez menores. Esto lo expresaremos como 

$lim_{|x| \rightarrow \infty} q(x) = -\infty$

Supongamos ahora que el orden del polinomio es impar y el coeficiente líder es positivo, entonces para valores muy grandes pero negativos de $x$ el polinomio toma valores cada vez menores y para valores muy grandes pero positivos de $x$ el polinomio toma valores cada vez mayores. Esto lo expresaremos como

$\lim_{x \rightarrow -\infty} q(x) = -\infty$

$\lim_{x \rightarrow \infty} q(x) = \infty$

Pero si el orden del polinomio es impar y el coeficiente líder es negativo, entonces para valores muy grandes pero negativos de $x$ el polinomio toma valores cada vez mayores y para valores muy grandes pero positivos de $x$ el polinomio toma valores cada vez menores. Esto lo expresaremos como

$\lim_{x \rightarrow -\infty} q(x) = \infty$

$\lim_{x \rightarrow \infty} q(x) = -\infty$

Y hasta aquí la primera parte de polinomios. Algún día habrá una segunda (y una tercera... y una cuarta...). Gracias por leer y comentad lo que consideréis.

Porque trabajar con el ordenador es de lo más normal...

En la era actual, un ordenador es una herramienta indispensable que permite instalar muchísimos programas y entre ellos, programas matemáticos muy útiles pero, a su vez, bastante específicos. Entonces, ¿es aconsejable descargarse un programa muy potente para necesidades muy básicas?

Verdaderamente, no. Ni es necesario e incluso tampoco es aconsejable ya que, se quiera o no, ocupan un espacio en el ordenador y siempre se puede encontrar una alternativa más ajustada a las necesidades, como programas online o versiones online de algunos programas. El más destacado de todos es:

WolframAlpha

Esta página online es especialmente potente y útil para muchísimos campos más allá de la matemática, la física o la química. Permite hacer gráficas, cálculos considerablemente grandes, límites, ecuaciones, series, integrales, álgebra de conjuntos... Prácticamente todo lo que se te ocurra lo puedes hacer o consultar ya que tiene una base de definición y documentación muy extensa.

Nivel: Cualquiera.

Compatibilidad: Online

Para instalar en vuestro ordenador hay muchas opciones:

Mathematica

Programa MUY potente de tipo algebraico-analítico de pago (quien lo busque para hackearlo allá él), las prestaciones que ofrece son muy útiles a nivel universitario o superior, pero para niveles inferiores no resulta aconsejable. Para hacerse una idea de lo potente que es, el programa pesa más de 1GB.

Nivel: Universitario o superior.

Compatibilidad: Windows

Maxima

Programa libre con abarque general (cálculo numérico, analítico, lógico, gráfico y algebraico) sencillo de utilizar y bastante útil disponible en cualquier sistema operativo. Desde su página oficial se puede descargar libremente.

Nivel: Bachiller o superior.

Compatibilidad: Todos los sistemas operativos.

Geogebra

Programa con orientación mayormente geométrica pero con mucho que ofrecer. También es software libre y se puede encontrar en la página oficial.

Nivel: E.S.O o superior.

Compatibilidad: Windows

Octave

Pensado y especializado para el cálculo numérico y con muy buenos recursos para el álgebra matricial y desarrollado como una versión libre de MATLAB. Quizá sea de los programas más útiles para este campo en cuestión y es relativamente sencillo de utilizar con la ventaja de ser totalmente libre.

Nivel: Bachiller o superior.

Compatibilidad: Todos los sistemas operativos.

MATLAB

El nombre de procede de "MATrix LABoratory" y con eso ya queda dicho todo. Es particularmente similar a Octave, pero con la desventaja de no ser software libre.

Nivel: Bachiller o superior.

Compatibilidad: Todos los sistemas operativos.

LaTeX

Allá donde estén las matemáticas, hay rigor, lógica y... ¡Símbolos! Esos tediosos símbolos que la mayoría de programas no tienen y que tan necesarios son. Y ahí entra en juego este programa. LaTeX es un compilador de texto; es decir, al escribir código aparece el texto, pero con la ventaja de que está especialmente diseñado para textos científicos (tanto breves como extensos). Permite muchos métodos de presentación, creación e inserción de imágenes y cuando uno lo conoce en profundidad, termina admitiendo que es inmenso.

Nivel: E.S.O. o superior

Compatibilidad: Todos los sistemas operativos.

Todo esto es a nivel orientativo, por lo que es posible que algún programa no esté en la lista, o que la compatibilidad sea errónea o que podáis considerar que el nivel puesto no es el adecuado (se ha tomado el nivel en el cuál se le puede sacar provecho al programa en función de los conocimientos de cada nivel); no obstante, ante cualquier error que veáis dejad un mensaje para que lo edite y que quienes vean esto les pueda servir como una referencia veraz.

También es posible que más adelante se haga un post más específico sobre cada uno y en el que se recopilen distintos tutoriales en formato .pdf para facilitar el uso de cada uno, ya que el modo autodidacta en estos aspectos puede hacer que no se le saque el provecho conveniente al programa.