Por dejar un poco de lado los polinomios, pasamos a algo más "profundo": la topología. Para empezar, la primera pregunta que suele ocurrírsele a la gente la primera vez es "¿eso no es el estudio del terreno?" Y una vez que se les dice que no la siguiente pregunta suele ser "¿y eso entonces para qué sirve?"
Se podría decir que la topología estudia conjuntos de forma similar a lo que puede hacer la geometría con los espacios afines, vectoriales o proyectivos. Determina cuándo hay conjuntos topológicamente idénticos estudiando lo que se denominan invariantes topológicos, unas propiedades que se preservan se hagan los cambios que se hagan en los conjuntos de estudio. No obstante, para llegar a ese punto primero hay que determinar conceptos previos.
Lo primero y más básico es dotar de nombre a un conjunto con propiedades particulares. Supongamos que tenemos un conjunto $\mathbb{X}$ y una familia de subconjuntos del mismo conjunto al que notaremos por $\tau$ que verifica las siguientes propiedades:
1-. El vacío y el total son parte de la familia $\tau$.
$\emptyset \in \tau$ y $\mathbb{X} \in \tau$
2-. Dada una familia arbitraria de elementos de $\tau$, la unión resultante de todos ellos es también otro elemento de $\tau$.
Dados $\mathcal{O}_{i} \in \tau$ con $i \in I$, entonces $\bigcup\limits_{i \in I} \mathcal{O}_{i} \in \tau$
3-. La intersección finita de elementos de $\tau$ es otro elemento de $\tau$.
Dados $\mathcal{O}_{1}$ y $\mathcal{O}_{2} \in \tau$ arbitratios, entonces $mathcal{O}_{1} \bigcap \mathcal{O}_{2} \in \tau$
A la familia $\tau$ de elementos de $\mathbb{X}$ se le denomina topología, a todos los elementos $\mathcal{O} \in \tau$ se les denomina abiertos y al par ($\mathbb{X}$, $\tau$) se le denomina espacio topológico.
Es obvio por la definición dada que las topologías se definen sobre conjuntos concretos y que no tiene porqué haber una única topología en un conjunto $\mathbb{X}$; de hecho, la mayoría de los conjuntos admiten al menos dos topologías básicas: la trivial y la discreta.
Topología trivial.
Es una topología siempre construible sobre cualquier conjunto $\mathbb{X}$.
$\tau_{T} = \{ \emptyset \text{, } \mathbb{X}\}$
Que se cumple la primera propiedad es inmediato.
Que se cumple la segunda también, porque la unión de elementos de $\tau_{T}$ sólo cabe que sea $\emptyset$ o bien $\mathbb{X}$; en cualquier caso, ambos pertenecen a $\tau_{T}$.
Exactamente por el mismo razonamiento para la intersección tenemos que se cumple la tercera propiedad.
Tenemos pues, una topología, que se puede calcular sobre cualquier conjunto $\mathbb{X}$
Topología discreta.
Es otra topología siempre construible sobre cualquier conjunto $\mathbb{X}$
$\tau_{D} = \mathcal{P}(\mathbb{X})$ = $\{ \mathcal{O} \subset \mathbb{X} \}$
Que se cumple la primera propiedad es inmediato.
Que se cumple la segunda también puesto que los elementos de $\tau_{D}$ son subconjuntos de $\mathbb{X}$ y la unión de subconjuntos seguirá siendo un subconjunto suyo.
El mismo razonamiento sirve para la intersección; si los conjuntos son disjuntos, la intersección es vacía y si no son disjuntos, será otro subconjunto. En cualquier caso se tiene que la intersección es otro elemento de $\tau_{D}$.
Aparte de éstas existen muchas más, algunas con nombre propio, que ya mencionaremos en la siguiente parte.
